電験３種理論問題　Ｈ２１年　問２

問題

静電界に関する記述である、次のうち正しいのはどれか。

（１）　二つの小さな帯電体の間に働く力の大きさは、それぞれの帯電体の電気量の和に比例し、その距離の2乗に反比例する。

（２）　点電荷が作る電界は点電荷の電気量に比例し、距離に反比例する。

（３）　電気力線上の任意の点での接線の方向は、その点の電界の方向に一致する。

（４）　等電位面上の正電荷には、その面に沿った方向に正のクーロン力が働く。

（５）　コンデンサの電極板間にすき間なく誘電体を入れると、静電容量と電極板間の電界は、誘電体の誘電率に比例して増大する。

この問で必要な公式

①　$F=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi \epsilon r^2}$　〔Ｎ〕

②　$E=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$　〔Ｖ／ｍ〕

③　$C=\epsilon \frac{S}{d}$　〔Ｆ〕

④　$V=Ed$　〔Ｖ〕　式を変形すると　$E=\frac{V}{d}$　〔Ｖ／ｍ〕

Ｆ：働く力　〔Ｎ〕　　　ℚ：電荷（帯電体の電気量）　〔Ｃ〕　　　$\epsilon$ ：誘電率　　〔Ｆ／ｍ〕

ｒ：距離　　〔ｍ〕　　　Ｃ：静電容量　　　〔Ｆ〕　　　　　　　　Ｓ：面積　　　〔ｍ²〕

ｄ：間隔　　〔ｍ〕

解答

正解は（３）です。

（１）　言葉が聞きなれないので、何を言っているのか悩んでしまうかも。

　帯電体は、電荷を持った物体。電気量とは電荷のことです。

　働く力は公式①　$F=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi \epsilon r^2}$ による。よって、「それぞれの帯電体の電気量の和に比例し」ではなく、「それぞれの帯電体の電気量の積に比例し」です。

（２）　「点電荷が作る電界」電界の強さは、公式②　$E=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$ のことです。

　この式によると、「距離に反比例する」ではなく、「距離の２乗に反比例する」となります。

（３）　上の図のように電界の方向とは、たとえば自由に動ける「正の電荷」をその電場に置いたときに、その「正の電荷」が動く方向（クーロン力の方向）であり、電気力線の方向でもある。また、その電気力線が曲がっているときは、接線の方向がその点の電界の方向となります。

（４）（３）で説明しましたが、等電位面上の正電荷には、「その面に沿った」ではなく「その面と垂直な」方向に電気力線が走り、電気力線の方向にクーロン力が働きます。だから「その面と垂直な」方向に正の電荷が動くことになります。

（５）コンデンサについての問題です。まず、静電容量Ｃは公式③　$C=\epsilon \frac{S}{d}$ より、たしかに誘電率 $\epsilon$ に比例しています。しかし、電極板間の電界は公式④　$V=Ed$　式を変形すると　$E=\frac{V}{d}$ より、誘電率 $\epsilon$ とは無関係です。

解説

問題（１）及び（２）についてですが、

二つの電荷の間に働く力は、公式①　$F=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi \epsilon r^2}$　〔Ｎ〕となります。これは、$Q_1$ の作り出す電界から　$Q_2$ が受ける力ともいえます。

これを式で見ると、$F=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi \epsilon r^2}=Q_2\frac{Q_1}{4\pi \epsilon r^2}=Q_2{E}_1$ となります。

ここで、公式②　$E=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$　〔Ｖ／ｍ〕の説明から。

Ｑクーロンの点電荷から、$\frac{Q}{\epsilon }$ 本の電気力線が出ていると定義されています。

また、Ｑクーロンの点電荷から距離 $r$ の点の電界の強さをＥとして、その $r$ を半径とする球の表面積をＳとします。また、電界の強さＥは電気力線密度とも言えるので、電気力線の数は $ES$ とも表せます。

ここで球の表面積Ｓは $4\pi r^2$ であるので、代入して $4\pi r^{2}E=\frac{Q}{\epsilon }$ となります。

これを式変形して、公式② $E=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$ となります。

ここで、前の説明の逆をたどれば、公式①　$F=\frac{Q_1{Q}_2}{4\pi \epsilon r^2}$　〔Ｎ〕となります。

問題（３）及び（４）は、解答の図を見てイメージしてください。

問題（５）に出てくる、静電容量Ｃは公式③　$C=\epsilon \frac{S}{d}$　〔Ｆ〕によります。

$C=\frac{\epsilon S}{d}$ と書くと分かりやすいかと思います。

平成２１年　問１にも出てくる公式ですが。少し変わった説明（覚え易い様なイメージを作成して）したいと思います。

誘電率 $\epsilon$ は、電極分離の係数だそうです。ここでは、これを平たく言えば、誘電体の中に̟⊕と̠⊖の電荷をどれだけ生み出せるか、の係数としましょう。

この値 $\epsilon$ が大きくなれば極板に集まる電荷も多くなります。よって、静電容量Cも大きくなります。

また、面積Ｓが大きくなると、溜める面積が増えるので溜まる電荷も増えます。よって、静電容量Cも大きくなります。

その代わりに距離（間隔）ｄに反比例します。

これを、上の二つの図で説明します。まず、極板間の誘電体（この図では空気になりそうです。そこまで考えずに作っています。)の中で作られた電荷を極板付近に保持する力を仮定します。

この保持力は、＋の極板に集まった⊖の電荷一つに対して、－の極板に集まった⊕の電荷一つが組になって存在する、その「絆」に由来するとしましょう。

間隔ｄが小さい（狭い）と「絆」が強く電荷が多く存在し、間隔ｄが大きいと「絆」が弱くなり電荷の数が減ってきます。

次に、コンデンサの電極板間の電界Ｅは、公式④　$V=Ed$　〔Ｖ〕　式を変形すると　$E=\frac{V}{d}$　〔Ｖ／ｍ〕によります。

これも　平成２１年　問１にも出てくる公式ですので、そのコピペになります。

ここに出てくる電界の強さＥは、別名を電位の傾きと言います。下図のようなイメージです。

$y=ax$ の $a$ が傾きを表すのと同様に、$V=Ed$ の $E$ が傾きを表します。

ここに、$\epsilon$ は出てきません。

まとめ

文章問題ですね。落ち着いて、よく読む。これに限ります。

問われている文章から、公式や図面を思い出す。

２乗があるのかないのか？

比例なのか、反比例なのか？

そもそも、その言葉の意味は？

緊張する試験の中ではありますが、落ち着いて、よく読む、としか言えません。