問題
ある回路に、$i=4\sqrt{2}sin120\pi t$ 〔Ａ〕の電流が流れている。この電流の瞬時値が、時刻 $t=0$ 〔ｓ〕以降に初めて $4$ 〔Ａ〕となるのは、時刻 $t=t_1$ 〔ｓ〕である。
$t_1$ 〔ｓ〕の値として、正しいのどれか？
（１） $\cfrac{1}{480}$ （２） $\cfrac{1}{360}$ （３）$\cfrac{1}{240}$
（４） $\cfrac{1}{160}$ （５） $\cfrac{1}{120}$
この問で必要な公式
① 交流の電圧、電流の瞬時値＝$A_msin\ \omega\ t$
$A_m$ =最大値 $\omega$＝各速度〔rad〕（$\omega=2\ \pi\ f$）
解答
正解は（１）です。
電流の瞬時値が、$i=4\sqrt{2}sin120\pi t$ で表されているとき、
最大値は $4\sqrt{2}$ です。
初めて４〔Ａ〕となるのは、$4\sqrt{2}\times\cfrac{1}{\sqrt{2}}=4$ より、
上の図では、$\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ の時であり、
４５°進んだ時であり、
$\cfrac{\pi}{4}$ の時です。
１秒間に $120\pi$ 進む電流が、最初に $\cfrac{\pi}{4}$ に到達する時間は、
$\cfrac{1}{120\times4}=\cfrac{1}{480}$ になります。
式で見ていきましょう。
電流の瞬時値 $i=4\sqrt{2}sin120\pi t$ が４〔Ａ〕とは、
$4\sqrt{2}sin120\pi t=4$ 〔Ａ〕と表せます。
両辺を４で割って、$\sqrt{2}sin120\pi t=1$
両辺を $\sqrt{2}$ で割って、$sin120\pi t=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
ここで、$sin\theta=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ とすると、
$\theta=45^\circ=\cfrac{\pi}{4}$ です。
よって、$sin120\pi t=\cfrac{1}{\sqrt{2}}=sin\cfrac{\pi}{4}$ となります。
$sin$ の中を比べると、$120\pi t=\cfrac{\pi}{4}$ と書けるので、
$t=\cfrac{1}{4\times120}=\cfrac{1}{480}$ となります。
解説
この二つの三角形から導き出せる $sin\ \ cos\ \ tan$ は覚えておきましょう。
$sin0^\circ=0$ 、 $sin30^\circ=\cfrac{1}{2}$
$sin45^\circ=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ 、 $sin60^\circ=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$
$sin90^\circ=1$
$cos0^\circ=1$ 、 $cos30^\circ=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$
$cos45^\circ=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ 、 $cos60^\circ=\cfrac{1}{2}$
$cos90^\circ=0$
$tan30^\circ=\cfrac{1}{\sqrt{3}}$ 、 $tan45^\circ=1$
$tan60^\circ=\sqrt{3}$
以上です。これくらいは、少し考えたら出てくるようにしておきましょう。
（上の二つの三角形の辺の比を覚えておけば、すぐに出てきます。）
解答の最初の図（電流の瞬時値を説明しようとして出した図）を少し説明します。
〔ｒａｄ〕表記のとき、$\pi$ は半周で、一周は $2\pi$ です。
図は、一周（ $2\pi$ ）分の $sin$ 曲線を表示しています。
今回の問題で出てくる $4\sqrt{2}sin120\pi t$ という式は、
電流の瞬時値を表す式であることは、解答欄に書きました。
$4\sqrt{2}$ が最大値であることも、書きました。
$sin120\pi t$ は、１秒間に $120\pi$ 分だけ回転することです。
$2\pi$ で１周ですので、１秒間に６０周回転する。
これは、６０〔Ｈｚ〕ということです。
各速度 $\omega=2\pi f$ という公式を見たことがあると思います。
それも、ここからきています。
まとめ
冷静に考えれば、何となく分かる問題だと思います。
解答で使用した図を思い出しながら、じっくりと考えてください。
サービス問題だと思います。
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